Sur les expressions numériques

Sur les expressions numériques

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
  • I-2 Priorité de la multiplication
• II Expression avec parenthèses
• III Simplification d'écriture
• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Sur les expressions numériques.

I Expression sans parenthèses

II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

IV Distributivité

V Distributivité et calcul mental

I Expression sans parenthèses

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
  • I-2 Priorité de la multiplication
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• IV Distributivité
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  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses

I-1 Avec des additions et des soustractions

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  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.

Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]

Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$81.1+38.5+34.4-72.1$
$A$	=	$119.6+34.4-72.1$
$A$	=	$154-72.1$
$A$	=	$81.9$

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses → I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

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Proposition [Priorité de la multiplication]

Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$14+2\times 6$
$A$	=	$14+12$
$A$	=	$26$

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$53\times 1-7\times 6$
$A$	=	$53-42$
$A$	=	$11$

Théorème

La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses → I-2 Priorité de la multiplication

II Expression avec parenthèses

• I Expression sans parenthèses
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  • I-2 Priorité de la multiplication
• II Expression avec parenthèses
• III Simplification d'écriture
• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Proposition [Priorité des parenthèses]

Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$89-(26+1)\times 2$
$A$	=	$89-27\times 2$
$A$	=	$89-54$
$A$	=	$35$

Remarque

Comme pour le calcul de $A$, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;

Exemple [Calculons l'expression $B$]

$B$	=	$9\times (18+(10-7))$
$B$	=	$9\times (18+3)$
$B$	=	$9\times 21$
$B$	=	$189$

Remarque

Comme pour le calcul de $B$, remarquer que l'on commence par les parenthèses les plus intérieures ;

Exemple [Calculons l'expression $C$]

$C$	=	$37+(75-12\times 6)\times 12$
$C$	=	$37+(75-72)\times 12$
$C$	=	$37+(3)\times 12$
$C$	=	$37+36$
$C$	=	$73$

Remarque

Comme pour le calcul de $C$, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2 restent valables.

Sur les expressions numériques → II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

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  • I-2 Priorité de la multiplication
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Proposition [Absence du signe de la multiplication]

Le signe de multiplication ( ) peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples

1. Le produit $4\times d$ peut s'écrire $4d$ ;
2. le produit $d\times z$ peut s'écrire $dz$ ;
3. le produit $6\times (z+4)$ peut s'écrire $6(z+4)$. On dit $6$ facteur de $z+4$ ;
4. le produit $4\times (d-6)$ peut s'écrire $4(d-6)$. On dit $4$ facteur de $d-6$;
5. le produit $d\times d$ peut s'écrire $d^2$. On dit $d$ au carré. De même on a $4\times 4=4^2$ ce qui vaut $16$.

Remarque [Attention]

Le signe est obligatoire lorsque son absence entraîne une confusion. En effet, $4\times 6$ ne s'écrit pas $46$ puisque cela vaut $24$.

Sur les expressions numériques → III Simplification d'écriture

IV Distributivité

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  • IV-2 Développer
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IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

Sur les expressions numériques → IV Distributivité

IV-1 Égalités de la distributivité

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  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Proposition [Distributivité]

Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

$\begin{array}{ccc}k(a+b)& =& ka+kb\\ k(a-b)& =& ka-kb\end{array}$

$\begin{array}{ccc}(a+b)k& =& ak+bk\\ (a-b)k& =& ak-bk\end{array}$

Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.

Exemple [Calculer $A$]

$A$	=	$1\times (25-6)$
$A$	=	$1\times 25-1\times 6$
$A$	=	$25-6$
$A$	=	$19$
$A$	=	$1\times (25-6)$
$A$	=	$1\times 19$
$A$	=	$19$

Exemple [Calculer $B$]

$B$	=	$20\times 12+12\times 12$
$B$	=	$(20+12)\times 12$
$B$	=	$32\times 12$
$B$	=	$384$
$B$	=	$20\times 12+12\times 12$
$B$	=	$240+144$
$B$	=	$384$

Un côté du rectangle rouge mesure $a$. Le côté commun avec le rectangle bleu mesure $k$. L'autre côté du rectangle bleu mesure $b$.
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont $k$ et $a+b$.

Sur les expressions numériques → IV Distributivité → IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

• I Expression sans parenthèses
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• IV Distributivité
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  • IV-2 Développer
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On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :

1. pour développer :
   
   $2\times (15+10)$ = $2\times 15+2\times 10$
2. pour factoriser :
   
   $10\times 16-10\times 11=10\times (16-11)$

Sur les expressions numériques → IV Distributivité → IV-2 Développer, factoriser

V Distributivité et calcul mental

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• IV Distributivité
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  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.

Exemple [Calculons $A$]

$A$	=	$228\times 11$
$A$	=	$228\times (10+1)$
$A$	=	$228\times 10+228\times 1$
$A$	=	$2280+228$
$A$	=	$2508$

Exemple [Calculons $B$]

$B$	=	$2\times 2288+8\times 2288$
$B$	=	$2288\times (8+2)$
$B$	=	$2288\times 10$
$B$	=	$22880$

Sur les expressions numériques → V Distributivité et calcul mental

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• Description: document sur les expressions numériques. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
• Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, expression numérique, calculation, factorization, simplification