Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit $t$ la taille du professeur. L'égalité $t = 184$ cm est vraie !
Soit $m$ la masse du professeur. L'égalité $m = 24$ kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple

10 x + 4 = 11 x

. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à

x

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus :

10 x + 4 = 11 x

. L'égalité est-elle vraie si

x = 12

? si

x = 4

Quand $x = 12$ , on donne 12 comme valeur particulière de $x$ dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
$10 x + 4 = 10 \times 12 + 4$ , soit 124 et pour l'autre membre, $11 x = 11 \times 12$ soit 132. Les nombres 124 et 132 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour $x = 12$ . On dit aussi que 12 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour $x = 4$ .
Pour le membre de gauche : $10 x + 4 = 10 \times 4 + 4$ soit 44. Et pour l'autre membre, $11 x = 11 \times 4$ soit 44. Quand $x = 4$ , les deux membres sont égaux ; on dit que 4 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 0$ soit vraie ?
[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 1$ soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

r - 8 = 19

, on procède ainsi :

\begin{matrix} r - 8 & = & 19 \\ r - 8 + 8 & = & 19 + 8 \\ r & = & 27 \end{matrix}

La solution de l'équation est

r = 27

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

l + 9 = 12

, on procède ainsi :

\begin{matrix} l + 9 & = & 12 \\ l + 9 - 9 & = & 12 - 9 \\ l & = & 3 \end{matrix}

La solution de l'équation est

l = 3

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

4 x = 15

, on procède ainsi :

\begin{matrix} 4 x & = & 15 \\ \frac{4 x}{4} & = & \frac{15}{4} \\ x & = & 3, 75 \end{matrix}

La solution de l'équation est

x = 3, 75

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

\frac{v}{5} = 12

, on procède ainsi :

\begin{matrix} \frac{v}{5} & = & 12 \\ \frac{v}{5} \times 5 & = & 12 \times 5 \\ v & = & 60 \end{matrix}

La solution de l'équation est

v = 60

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit $x$ ce que l'on cherche .
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a cinq fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 19 à la somme de leur âge, on trouve un 61.

Solution

Choix de l'inconnue Soit $x$ l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a cinq fois son âge, donc son âge est de : $5 x$ ;
  La somme de leur âge est donc de $5 x + x = 6 x$ .
  Si on ajoute 19 à la somme de leur âge, on trouve 61, d'où l'équation $6 x + 19 = 61$
- Résolution
  $\begin{matrix} 6 x + 19 & = & 61 \\ 6 x & = & 61 - 19 \\ 6 x & = & 42 \\ x & = & \frac{42}{6} \\ x & = & 7 \end{matrix}$
Augustin a donc 7 ans. (Bonus : son père a 35 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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